Martha Argerich ha iniziato gli studi con la madre, insegnante di pianoforte, e dai cinque ai quindici anni si è formata con il pianista crotonese Vincenzo Scaramuzza, valente didatta che le insegnò col suo personale metodo, che prevedeva di affrontare i problemi tecnici incontrati nella musica suonata, senza esercizi di tecnica. Ha debuttato in concerto all'età di otto anni. Trasferitasi in Europa con la famiglia nel 1955, studiò in Austria con Friedrich Gulda. Ha seguito inoltre i corsi di perfezionamento di Arturo Benedetti Michelangeli ad Arezzo e Moncalieri, nel 1960, con il quale in realtà fece solo quattro lezioni. A Benedetti Michelangeli, al debutto a New York della pianista fu fatto notare che il tempo dedicatole fosse esiguo, al che egli rispose che lui le aveva insegnato "la musica del silenzio". Nel 1957, a soli 16 anni e nel giro di poche settimane, vinse due importanti premi - il concorso Ferruccio Busoni di Bolzano e il concorso pianistico di Ginevra - dai quali la sua carriera di pianista ha ricevuto una spinta importante. Nel 1965 Vince il Concorso Chopin di Varsavia. Fin dai primi anni della sua carriera ha anche accompagnato altri strumentisti, in sonate o musica da camera. Viene presentato nel 2013 un film intimo sulla sua vita, diretto dalla figlia Stephanie: Bloody Daughter.