Joachim è nato nel 1988 a Bergen, in Norvegia, e ha studiato con il rinomato professore ceco Jiri Hlinka al Barratt Dues Institute of Music di Oslo e negli anni successivi con il professore Eldar Nebolsin alla Hochschule für Musik "Hanns Eisler" di Berlino, dove ha conseguito il Master con il massimo dei voti nel 2016. Nell'ottobre 2014 ha vinto il primo Premio, il Premio del Pubblico e il Premio dell'Orchestra Filarmonica di Bergen al 14° Concorso internazionale di pianoforte Edvard Grieg in Norvegia, oltre al premio Naxos di registrazione per orchestra. Nell'aprile 2015 Carr ha ricevuto il prestigioso Robert Levin Prize in Norvegia. Al prestigioso 25° Concorso Clara Haskil a Vevey, 2013, gli è stato assegnato il Premio Speciale Coup de Coeur per il suo recital. Con la sua compagna di violino Diana Tishchenko, ha vinto il 1° Premio al 10° Concours International de Musique de Chambre de Lyon nel 2014. Nel 2013 ha ricevuto il Boris Pergamenschikow Preis per la musica da camera contemporanea a Berlino, con il suo trio per pianoforte - Trio Korngold.
Al concerto di chiusura del Bergen International Festival 2017, Carr si unisce a una lista impressionante di pianisti di fama mondiale che hanno eseguito, come ogni anno dal 1953,  il concerto per pianoforte di Edvard Griegs.
Un sacco di gente può suonare bene il pianoforte, ma c'è qualcuno con qualcosa da dire sulla musica, la cui narrazione trattiene l'interesse. È un musicista di cui sentiremo parlare molto in futuro. (Martin Anderson).
Un pianoforte-arcobaleno ... Attraverso il leggero tocco delle dita, chiaro come l'acqua di sorgente, e la sensazione di cuore nelle note, Carr è un narratore nato. (Sylvie Bonier, Le Temps)